谢谢邀请；要回答你这个问题，先要弄清楚这个继子是怎么来的，只有理顺了，才能够根据法律予以回答。

从字面上我们可以看出，肯定是你现任的男人和没有结婚的女人生的孩子，母亲不要孩子，由男人带着和你结婚的，孩子才没有出生证明，这说得过去。

因为，我国在户籍管理制度上的规定是非常严格的，从户籍登记上，一眼就能显出子女与父母是有直接的血缘关系，还是没有血缘关系，子女的来源一定要十分清楚，才具有合法性。现在出生的孩子都有存档，医院也不敢造假。所以，在孩子出生证明的一栏上不能填写继母的名字。

要给孩子上户口，必须由孩子的亲生母亲，到孩子出生地医院开出孩子的出生证明，孩子再和父亲到鉴定机关做一个DNA对比，能够证明孩子与你现任丈夫有直接的血缘关系。

凭着孩子的出生证明和DNA鉴定，就可以将孩子的户口入户了，在婚姻的框架下，孩子成了你合法的继子女。依法建立起了抚养关系，以后孩子长大了，自然对你就有赡养的责任和义务。